Il Rovello · deduzione
Una moneta è falsa: pesa un filo di più o un filo di meno, e non sai quale delle due. Tre pesate sono già state fatte: da come sono andate si ricava quale moneta è e in che verso.
Le pesate non le scegli tu, e non sempre sono quelle che avresti fatto: il lavoro è leggerle. Per questo la bilancia somiglia più a un enigma di logica che a un rompicapo di strategia.
Un piatto che scende non accusa nessuno da solo. Se va giù la sinistra, può esserci una moneta pesante sopra la sinistra oppure una leggera sulla destra. I due casi danno lo stesso identico risultato, e nessuno dei due si può scartare guardando solo quella pesata.
L’equilibrio, invece, scagiona tutti. Se i piatti restano pari, nessuna delle monete che ci stanno sopra è la falsa — in nessun verso. È la riga che toglie di più, e conviene partire da lì.
Anche le monete da parte contano. Una moneta che non sta su nessuno dei due piatti non può aver fatto pendere la bilancia: se quella pesata è pendata, lei è innocente. È l’esclusione che sfugge sempre, perché riguarda monete che in quel disegno non ci sono.
Questa non è la bilancia di oggi: è un esempio, e non uscirà mai in nessuna giornata. Otto monete, una falsa, e queste tre pesate.
I due piatti restano in equilibrio.
Il piatto di sinistra è sceso.
Il piatto di destra è sceso.
Si parte da sedici sospetti — otto monete per due versi — e ogni passo ne toglie un gruppo. Qui sotto, dopo ogni passo, quelli ancora in piedi: ↑ vuol dire «più pesante», ↓ vuol dire «più leggera».
Restano 8 sospetti su sedici.
Restano 3 sospetti su sedici.
Resta un sospetto solo: la 6 più leggera.
La falsa è la 6, ed è più leggera. Tre pesate, tre passi, e nessuna prova a caso: la risposta non è stata indovinata, è rimasta.
Dalla pesata in equilibrio, se c’è: cancella in un colpo tutte le monete che ha sui piatti. Se non ce n’è nessuna, si comincia dalla moneta che compare in più pesate, perché è quella su cui gli esiti si contraddicono prima: se sta su due piatti che sono scesi tutti e due, per esempio, o è pesante o non è lei.
Il passo che si dimentica è sempre lo stesso: guardare chi non c’era. In ogni pesata che pende, tutte le monete rimaste fuori sono scagionate.
Una pesata ha tre esiti: scende a sinistra, scende a destra, restano pari. Tre pesate fanno dunque 3×3×3 = 27 combinazioni di esiti diverse. Le risposte da distinguere sono al massimo 18: nove monete, due versi ciascuna. Ventisette è più di diciotto, e per questo tre pesate ben scelte possono bastare — mentre due, che fanno nove combinazioni, non bastano mai.
«Possono», non «bastano sempre»: tre pesate fatte male non distinguono niente. Che quelle di oggi siano fatte bene è esattamente la cosa che viene verificata prima di pubblicarle.
Due cose, e sono due conti, non due promesse.
Una sola risposta. Si provano tutte le coppie possibili — ogni moneta, in tutti e due i versi — e si tiene l’enigma solo se una sola coppia produce esattamente i tre esiti scritti. Non basta che la risposta dichiarata funzioni: non deve funzionarne nessun’altra.
Nessuna pesata di troppo. Togliendo una qualsiasi delle tre, le coppie possibili devono tornare più di una. Se un enigma si risolve anche con due pesate su tre, la terza è lì per fare scena e l’enigma viene scartato.
I due controlli li rifà da capo un secondo programma, scritto in un altro modo, che non sa quale sia la risposta e la ricava solo dagli esiti: un generatore che si verifica con le proprie funzioni è come correggersi i compiti da soli.
È il parente più famoso, ma il lavoro è rovesciato. Là le pesate le progetti tu: la domanda è come dividere dodici monete per arrivare in fondo in tre mosse qualunque cosa succeda, ed è un bellissimo problema che però si risolve una volta sola — dopo, la strategia la sai. Qui le pesate sono già state fatte, spesso in un modo che tu non avresti scelto, e ogni giorno vanno lette daccapo. Uno è un teorema, l’altro è un enigma quotidiano.
Hai otto o nove monete uguali, numerate. Una sola è falsa: pesa un filo di più oppure un filo di meno delle altre, e non ti viene detto quale delle due. Qualcuno ha già fatto tre pesate con una bilancia a due piatti e tu ne vedi gli esiti: quale piatto è sceso, o se sono rimasti in equilibrio. Incrociando i tre esiti resta una sola risposta possibile, e la risposta è doppia: quale moneta è la falsa, e se pesa di più o di meno. Non devi decidere tu le pesate: devi leggere quelle già fatte.
Due cose insieme, ed è qui che il gioco diventa interessante. Se scende il piatto di sinistra, può esserci una moneta più pesante sopra quel piatto, oppure una moneta più leggera sull’altro: i due casi danno lo stesso identico risultato. Una pesata che pende, quindi, non accusa nessuno da sola — restringe soltanto. Serve incrociarla con le altre.
Allora quella pesata scagiona tutte le monete che ci sono sopra, da tutte e due le parti. Se una di loro fosse stata la falsa, in un verso o nell’altro, la bilancia si sarebbe mossa. L’equilibrio è la riga più generosa del gioco: toglie di colpo sei sospetti su otto, ed è quasi sempre da lì che conviene cominciare.
Contano anche loro, e sono la trappola più comune. Una moneta che non sta su nessuno dei due piatti non può aver fatto pendere la bilancia: quindi se quella pesata è pendata, lei è innocente. È un’esclusione che non si vede, perché riguarda monete che in quel disegno non ci sono — e salta quasi sempre fuori all’ultimo passo.
Perché una pesata ha tre esiti possibili — scende a sinistra, scende a destra, restano pari — e tre pesate fanno ventisette combinazioni di esiti. Le risposte da distinguere sono al massimo diciotto: nove monete per due versi. Ventisette è più di diciotto, quindi tre pesate ben scelte bastano. Con due non si arriva: nove combinazioni sono troppo poche.
È lo stesso mondo, ma il lavoro è rovesciato. Nel problema classico le pesate le progetti tu: la domanda è come dividere le monete per arrivare in fondo in tre mosse, e si risolve una volta sola, perché la strategia poi la sai. Qui le pesate sono già state fatte da qualcun altro, spesso in un modo che tu non avresti scelto, e il lavoro è leggerle: una deduzione da rifare ogni giorno invece di un teorema imparato una volta.
L’edizione dura un giorno ed è la stessa per tutti: il risultato si confronta con quello di chi ha giocato oggi, e finisce nella bacheca insieme agli altri. Se ti è piaciuta, qui ci sono tutti gli altri giochi — e il lucchetto e gli enigmi di logica sono quelli che le somigliano di più: anche lì si arriva per esclusione, e la soluzione è ciò che resta.