I rompicapo delle altezze
In molti casi, per risolvere un problema, non servono formule complicate. Basta osservare con attenzione la situazione e capire quale relazione lega le informazioni che abbiamo a disposizione.
È il caso di questo rompicapo matematico: due edifici, una piccola casa e due misurazioni apparentemente semplici. La sfida consiste nel ricavare l’altezza della casa usando soltanto i dati forniti.
Il rompicapo
Osserva le due situazioni illustrate nell’immagine.
- Prima situazione: la casa si trova a terra, accanto al palazzo. La distanza tra la cima della casa e la cima del palazzo è di 255 cm.
- Seconda situazione: la casa viene collocata sopra il palazzo. L’altezza complessiva, dalla base del palazzo fino alla cima della casa, è di 415 cm.
Le due scene sono rappresentate nella stessa scala.
Domanda: quanto è alta la casa?
Prima di proseguire, prova a trovare la soluzione. Il trucco non sta nel misurare le figure a occhio, ma nel tradurre le due situazioni in un piccolo ragionamento matematico.
Prova a rispondere tu prima di scoprire la soluzione
Come si arriva alla soluzione?
Per risolvere il problema, dobbiamo individuare le due grandezze che non conosciamo:
- l’altezza del palazzo;
- l’altezza della casa.
Chiamiamo l’altezza del palazzo (P) e quella della casa (C).
1. La casa è a terra
Quando la casa si trova accanto al palazzo, la differenza tra le loro altezze è di 255 cm.
Questo significa che il palazzo è più alto della casa di 255 cm:
[
P-C=255
]
Da questa relazione ricaviamo:
[
P=C+255
]
2. La casa è sopra il palazzo
Nella seconda situazione, invece, l’altezza del palazzo e quella della casa si sommano. Il totale è 415 cm:
[
P+C=415
]
Abbiamo quindi due informazioni: la somma delle altezze è 415 cm, mentre la loro differenza è 255 cm.
3. Il calcolo decisivo
Sostituiamo nella seconda equazione l’espressione (P=C+255):
[
(C+255)+C=415
]
Raggruppiamo le due altezze della casa:
[
2C+255=415
]
Sottraiamo 255 da entrambi i membri:
[
2C=415-255=160
]
Infine dividiamo per 2:
[
C=160 ÷ 2=80
]
La casa è alta 80 cm.
Possiamo verificare il risultato: se la casa è alta 80 cm, il palazzo misura (80+255=335) cm. Sommando le due altezze otteniamo (335+80=415) cm, proprio come indicato dal rompicapo.
Perché questo rompicapo è utile?
Questo tipo di problema è interessante perché allena una capacità fondamentale: riconoscere la relazione tra le quantità, anziché limitarsi a manipolare i numeri presenti nel testo.
In particolare, aiuta a esercitare tre abilità.
1. Tradurre una situazione in un modello matematico.
Le immagini mostrano oggetti concreti, ma per risolvere il problema dobbiamo rappresentare le loro altezze con due incognite e descrivere ciò che sappiamo attraverso una somma e una differenza.
2. Tenere insieme due informazioni.
La prima misurazione, da sola, non permette di sapere quanto sia alta la casa: conosciamo soltanto la differenza tra le due altezze. La seconda, presa isolatamente, ci dice solo quanto misurano insieme. È la combinazione delle due informazioni a rendere possibile la soluzione.
3. Scegliere il procedimento più adatto.
Una volta individuata la relazione tra le altezze, il calcolo diventa semplice. La parte più importante non è eseguire le operazioni, ma capire quali operazioni servono e perché.
Rompicapi come questo introducono anche un principio dell’algebra: un problema può essere risolto assegnando un simbolo a una quantità sconosciuta e costruendo equazioni che descrivono le relazioni tra i dati.
Non occorre essere esperti di matematica per affrontarli. Serve soprattutto la disponibilità a fermarsi, osservare e provare a vedere il problema da una prospettiva diversa.
La prossima volta che ti trovi davanti a due misure, chiediti non soltanto quanto valgono, ma quale relazione esiste tra loro. Spesso è proprio lì che si nasconde la soluzione.
