Quante matite devi estrarre per essere sicuro di averne due dello stesso colore?
Immagina di avere davanti una scatola contenente 36 matite: 12 rosse, 12 blu e 12 verdi.
C’è un piccolo problema: sei bendato e ti trovi in una stanza completamente buia. Non puoi vedere le matite che estrai, quindi non hai modo di scegliere il colore.
La domanda è questa: quante matite devi prendere almeno per essere assolutamente sicuro di averne due dello stesso colore?
Potresti pensare che bastino due o tre tentativi. Ma come puoi esserne certo, se ogni volta potresti estrarre una matita di un colore diverso?
La risposta è più semplice di quanto sembri. E per trovarla non serve fare calcoli complicati: basta ragionare nel modo giusto.
Prima di leggere la soluzione puoi provare a dare la tua risposta qui.
La soluzione
La risposta è 4 matite.
Vediamo perché.
Quando estrai la prima matita, può essere rossa, blu oppure verde. Non avendo informazioni sul colore, tutte e tre le possibilità devono essere considerate.
Con la seconda matita, potresti ancora avere due colori diversi.
Anche con la terza potresti essere sfortunato, nel senso che potresti aver estratto una matita rossa, una blu e una verde.
A questo punto, però, la situazione cambia: nella scatola ci sono soltanto tre colori possibili.
La quarta matita dovrà necessariamente essere rossa, blu oppure verde. Qualunque sia il suo colore, sarà uguale a quello di almeno una delle tre matite già estratte.
Non esiste una quarta possibilità che permetta di evitare la ripetizione.
Ecco perché tre matite non sono sufficienti a garantire il risultato, mentre quattro lo sono sempre.
Il ragionamento che sta dietro all’indovinello
Questo tipo di rompicapo si basa su un principio matematico noto come principio dei cassetti o principio della piccionaia.
L’idea è molto intuitiva: se devi distribuire più oggetti che contenitori disponibili, almeno un contenitore finirà necessariamente per ospitare più di un oggetto.
Nel nostro caso:
- gli oggetti sono le matite.
- I contenitori sono i tre colori disponibili.
- Le matite sono gli oggetti da distribuire nei rispettivi colori.
Con tre matite puoi ancora avere una matita per colore. Ma quando ne estrai una quarta, uno dei tre colori deve necessariamente comparire almeno due volte.
La quantità di matite disponibili per ogni colore, 12 in questo caso, non cambia il risultato. Conta soltanto il numero dei colori distinti che potresti estrarre.
Perché questi indovinelli sono interessanti?
Il valore di questi esercizi non sta tanto nella difficoltà dei calcoli, quanto nel modo in cui ci invitano a impostare un problema.
Quando affrontiamo una domanda del genere, spesso cerchiamo subito la combinazione che ci permetterà di ottenere il risultato desiderato. In questo caso, potremmo immaginare diverse estrazioni e provare a indovinare quando arriverà la seconda matita dello stesso colore.
Ma c’è un metodo più efficace: cercare la situazione peggiore che potrebbe ancora verificarsi.
Qual è il massimo numero di matite che puoi estrarre senza averne due dello stesso colore? Tre: una rossa, una blu e una verde.
Una volta individuato questo limite, la risposta diventa inevitabile. Basta aggiungere una matita.
Questo modo di ragionare è utile perché permette di dimostrare che un risultato è garantito, invece di limitarsi a considerarlo probabile.
A cosa servono i rompicapi di questo tipo?
Questi indovinelli offrono l’occasione di allenare diverse abilità mentali:
- Ragionamento logico: capire quali possibilità sono ammesse e quali sono impossibili.
- Pensiero critico: distinguere ciò che potrebbe accadere da ciò che deve necessariamente accadere.
- Capacità di astrazione: trascurare i dettagli secondari e individuare gli elementi che determinano davvero la soluzione.
- Problem solving: affrontare un problema partendo dai suoi limiti, anziché procedere per tentativi casuali.
Naturalmente, un singolo indovinello non misura l’intelligenza e non garantisce miglioramenti cognitivi duraturi. Può però essere uno stimolo per esercitarsi a formulare ipotesi, verificarle e cercare dimostrazioni più solide delle semplici intuizioni.
Prova a cambiare le regole
Ora che hai scoperto il meccanismo, prova a rispondere a una variante.
Immagina di avere una scatola con matite rosse, blu, verdi e gialle. Sei sempre bendato e non puoi riconoscere i colori al tatto.
Quante matite devi estrarre almeno per essere sicuro di averne due dello stesso colore?
E se i colori fossero cinque? E se volessi essere sicuro di averne tre dello stesso colore?
Il principio è sempre lo stesso: prima individua quante estrazioni puoi effettuare senza ottenere il risultato richiesto; poi aggiungine una.
A volte, per risolvere un problema, non serve prevedere che cosa succederà. È sufficiente capire fino a quando una determinata situazione può ancora verificarsi.
Un piccolo approfondimento matematico
La logica si può generalizzare con una formula molto semplice.
Se ci sono \(n\) colori distinti, per essere sicuri di avere almeno due oggetti dello stesso colore occorrono:
n+1
Se invece vuoi essere sicuro di avere almeno tre matite dello stesso colore, con tre colori disponibili devi considerare la situazione peggiore: puoi estrarre due matite per ciascun colore senza averne ancora tre uguali.
Quindi:
3 x 2+1=7
Servono 7 matite.
Più in generale, con \(n\) colori e volendo essere certi di avere almeno \(k\) oggetti dello stesso colore, il numero minimo è:
n(k-1)+1
Questa formula vale quando i colori sono tutti disponibili in quantità sufficiente e gli oggetti vengono estratti senza poterli identificare prima dell’estrazione.
