Come si possono ottenere esattamente 4 litri d’acqua avendo a disposizione soltanto due recipienti, uno da 8 litri e uno da 5? Nessuno dei due ha tacche di misurazione e non si può usare nessun altro strumento.
Sembra un problema senza soluzione, eppure basta organizzare le mosse nel modo giusto.
I rompicapo dei travasi sono enigmi di ragionamento nei quali bisogna misurare una quantità precisa usando recipienti di capienza nota, ma privi di graduazioni. Per riuscirci occorre sfruttare le operazioni consentite e tenere traccia di quanta acqua rimane dopo ogni passaggio.
Le regole del gioco
La versione classica di questi enigmi prevede alcune semplici regole:
- Si possono riempire completamente i recipienti usando una fonte d’acqua illimitata.
- Si può svuotare completamente un recipiente.
- Si può travasare l’acqua da un recipiente all’altro.
- Durante il travaso, ci si ferma quando il recipiente di partenza è vuoto oppure quello di destinazione è pieno.
- Non si possono stimare le quantità a occhio né utilizzare contenitori diversi da quelli previsti.
La difficoltà consiste proprio nel fatto che non possiamo decidere liberamente quanta acqua versare: possiamo conoscere con precisione soltanto le quantità determinate dalla capienza dei recipienti e dai travasi.
Un esempio pratico: ottenere 4 litri con due recipienti
Immaginiamo di avere un recipiente da 8 litri e uno da 5 litri, entrambi inizialmente vuoti.
L’obiettivo è ottenere esattamente 4 litri d’acqua. Ecco come procedere.
| Passaggio | Recipiente da 8 L | Recipiente da 5 L |
|---|---|---|
| 1. Riempi quello da 5 L | 0 | 5 |
| 2. Versa nel recipiente da 8 L | 5 | 0 |
| 3. Riempi nuovamente quello da 5 L | 5 | 5 |
| 4. Versa nel recipiente da 8 L fino a riempirlo | 8 | 2 |
| 5. Svuota quello da 8 L | 0 | 2 |
| 6. Trasferisci i 2 L nel recipiente da 8 L | 2 | 0 |
| 7. Riempi quello da 5 L | 2 | 5 |
| 8. Versa tutta l’acqua nel recipiente da 8 L | 7 | 0 |
| 9. Riempi quello da 5 L | 7 | 5 |
| 10. Versa nel recipiente da 8 L fino a riempirlo | 8 | 4 |
Ecco il risultato: nel recipiente da 5 litri rimangono esattamente 4 litri d’acqua.
La soluzione non consiste in un singolo calcolo, ma in una sequenza di operazioni. Ogni passaggio crea una nuova situazione che può essere utile per quello successivo.
Il gioco per divertirsi e imparare: Il Travaso – Il Rovello
Riempi, svuota, travasa. Niente tacche: puoi fidarti solo di quanto tengono i recipienti. Arrivarci è quasi sempre possibile, il punto è farlo nel minor numero di mosse.
Come si gioca, in breve
- Hai due o tre recipienti senza tacche: ne conosci solo la capienza, scritta sull’orlo.
- Puoi riempirne uno fino all’orlo, svuotarlo, oppure travasare da uno all’altro — il travaso si ferma da solo quando il primo è vuoto o il secondo è pieno.
- Per versare, tocca un recipiente e poi toccane un altro (quello evidenziato «versa qui»). Riempi e svuota sono i bottoni.
- Lo scopo è far restare esattamente la quantità chiesta in un recipiente qualunque.
Vai al gioco Il Travaso
Che cosa allena questo tipo di rompicapo?
I problemi dei travasi sono un esempio di ragionamento per tentativi controllati. Non basta provare mosse a caso: bisogna osservare le conseguenze di ogni operazione e capire quali quantità possono essere sfruttate in seguito.
In particolare, questi enigmi richiedono di:
- Pianificare: scegliere una mossa pensando al risultato che si vuole raggiungere.
- Tenere traccia delle informazioni: ricordare quanta acqua è presente in ciascun recipiente.
- Ragionare per passaggi: trasformare un problema apparentemente complicato in una serie di operazioni più semplici.
- Verificare le ipotesi: controllare se una strategia funziona davvero, anziché fermarsi alla prima idea.
Un tentativo fallito non è necessariamente tempo perso: può mostrare quali quantità si riescono a ottenere e quali strade non portano al risultato desiderato.
Esiste anche una regola matematica?
Sì. Dietro questi enigmi si nasconde una proprietà della teoria dei numeri.
Quando si utilizzano due recipienti con capienze espresse in numeri interi, la quantità desiderata deve essere compatibile con il massimo comune divisore delle due capienze.
Per esempio, con recipienti da 6 e 8 litri, il massimo comune divisore è 2. Partendo da recipienti vuoti e usando soltanto i travasi consentiti, non si possono ottenere quantità dispari di litri: ogni quantità misurabile sarà un multiplo di 2.
Con recipienti da 5 e 8 litri, invece, il massimo comune divisore è 1. Questo rende possibile misurare quantità intere di litri fino alla capienza del recipiente più grande, compresi i 4 litri del nostro esempio.
La regola permette quindi di capire se una quantità è misurabile prima ancora di cercare la sequenza di mosse necessaria. Non indica però, da sola, quali travasi effettuare.
Un genere di enigma antico, ancora attuale
I problemi di misurazione con recipienti hanno una lunga tradizione nella matematica ricreativa. Sono presenti anche nella letteratura matematica europea del Seicento e sono diventati popolari in numerose varianti, dai problemi con brocche e secchi agli enigmi ambientati presso fontane o pozzi.
La loro forza sta nella semplicità delle regole e nella varietà delle soluzioni possibili. Basta cambiare la capienza dei recipienti o la quantità da ottenere per creare una nuova sfida.
Note bibliografiche: puoi approfondire la voce Water pouring puzzle
